Homothétie des cercles de Mohr à la rupture: connexion entre la droite de Coulomb dans le plan de Mohr et la droite Kf dans le plan de Lambe

Par Dr. Pierre Montès
Dernière mise à jour: 8 novembre 2014

Le travail présenté ci-après revient sur un problème classique: la détermination de la droite de Coulomb d'un sol donné à partir des résultats d'essais triaxiaux. 

Ce sujet est traité dans tout cours de Mécanique des sols du 1er cycle universitaire en génie civil (chapitre sur la résistance au cisaillement).

On dispose de n  (n > 2) cercles de rupture pour des essais CU effectués sur des échantillons identiques d'un même sol (provenant d'un même bloc) avec mesures de pressions interstitielles, ou bien pour des essais CD effectués sur ces mêmes échantillons.

On suppose que  ces cercles n'admettent qu'un seul et même centre d'homothétie quelle que soit la paire de cercles homothétiques considérée parmi les n cercles disponibles. En d'autres termes, on ne traite pas ici le cas où certains des cercles seraient sous la bosse de préconsolidation et d'autres seraient dans la zone normalement consolidée.  

On veut trouver l'équation de la droite de Coulomb, c'est-à-dire l'équation de la tangente commune extérieure aux cercles de rupture.

Lorsque le nombre de cercles est supérieur à 2, la recherche de l'équation de la tangente commune devient fastidieuse. Plusieurs auteurs recommandent de déterminer d'abord l'équation de la droite qui passe le plus près possible des sommets des cercles de rupture (la ligne Kf déterminée par la méthode des moindres carrés); puis d'en déduire la droite de Coulomb à partir de la ligne Kf. C'est la meilleure méthode à suivre pour résoudre ce problème.

Certains de ces auteurs justifient plus ou moins rigoureusement la méthode en prenant pour un fait accompli (sans le justifier) que la droite de Coulomb et ligne Kf concourent en un point situé sur la ligne des centres.

Le travail ci-après se base sur l'homothétie des cercles de Mohr à la rupture pour montrer que ces deux droites se coupent effectivement en un point situé sur la ligne des centres. Puis on en déduit la connexion entre la droite de Coulomb et la droite Kf.